科學這些事，說起來肚子餓了還是得吃飯

眼前那些形形色色的平凡事跡，腦內自動忽略原本該注意的科學

話說，又有誰會嘗試去思考每一件事呢？

燈號轉為小綠人的那刻，大學生拎著便當走向對街的校園，手機上的時間──５：３０。

大概是接下來有社團活動，五點半也不能算是早食，某些人能在這個時間就意識到自己是餓的，但誰也沒注意到，胃酸竟然含有少量鹽酸的成份。就說了，人不會把每件事都拿去Google，到頭來最後靠的還是問題的發生。

嘛，就算知道了也對人生沒什麼影響嘛。是的，如果你的人生是能被偶然知道的小知識所改變，你大概不是什麼簡單的人物。每天一杯珍奶對人的影響遠大於知曉一則新知，畢竟比起知識的膨脹，身體的膨脹係數還是比較大而明顯的。

所以咧？所以有人將這些思考排除於他的生活之外，也是呢，當喝著星巴克的咖啡人們會想思考的應該是人生吧，總不會是『啊，這豆子產地是蘇門答臘』，如果有的話，農場主人會哭的唷，會落下好幾十年來終於有人懂他的眼淚。


但也許就是這樣，一種不但不神秘而且近乎無聊的新鮮感誕生了。它的神祕感就像主廚的神秘配方，消費者只關心CP值，只有主廚自己在那邊神秘。而這些述說著"鉛球和羽毛會同時落地"的言論像是前菜，後面還有一堆不好意思端出來的理論基礎，怕你吃不下。


我是科學的美食獵人，是個只懂得品嘗前菜的美食評論家，可以告訴你哪個開胃，剩下是要填飽、還是求得一品佳餚，這還得看你怎麼點餐。科學就是一鍋熬了千年的大骨湯，就只等帶LNG開台。

第四維?

＜關於座標＞
『XXX在哪?』要怎麼描述一個人或一個物體切確的位置呢？
『我在台北車站，東邊，三公尺處』就是一個清楚的表達方式
當一句話含有 參考點(台北車站)、方向(東邊)、距離(三公尺處)
有了這些資訊我們就可以得到物體的位置。
再舉一個例子：你到前面紅綠燈右轉，大概再騎三分鐘就到了
『你到前面紅綠燈(參考點)右轉(方向)，大概再騎三分鐘就到了(距離)』
(這邊的三分鐘是用時間乘上一般認知的車子速度得到距離)

雖然有了明確表達位置的方式，但只有這樣是不夠的，所以引進了『座標』
用二維座標來看台北車站這個例子

畫出一個二維座標，十字的中心(原點、參考點)就是台北車站，座標軸中的每一格都代表一公尺，所以當目標物出現在東邊第三個點上，一樣可以清楚的得到『我在台北車站，東邊，三公尺處』這個資訊。除了用語言描述的方式，也可以直接畫一個座標圖，看到座標圖的人一樣可以很快的清楚物體的位置。

利用座標點的表示法，更能夠快速的知道一些比較難表達的位置，比如下張圖

要怎麼描述綠點位置呢？如果用一般口語的描述會是：
『大概在台北車站的東北方』（模糊板）
或『台北車站往東走三公尺，再往北兩公尺』（清楚板）
但如果是用座標來表示，只要明定X的正方向為東，Y的正方向為北
則物體的位置就在

(3,2)

的位置。

所以座標就超方便的，座標本身就把『參考點、方向、距離』涵蓋在其中了，最後要表示物體的座標，只要在兩個維度上面　(X,Y)　給定XY 其位置座標馬上就可以知道物體在哪了。甚至於利用＂向量＂可以有更多靈活的運用（不贅述）

＜座標小結論＞

要清楚第四維度為什麼要先講座標？　因為要先知道什麼是一維、二維、三維
而＂空間＂在有些部分其實是抽像難以簡單描述的，所以利用座標可以將空間量化
化為一些線條，這樣也比較好想像。

如同古時第谷和克卜勒等人是如何記錄星體位置的？　當然也是利用座標，將天空畫上虛擬的線條，並記錄這些數字。看著數字，就可以在腦內翻譯出星體位置。

＜維度與數學＞

先看一張圖

依照前述，要表達綠點位置可以以　(3)　來表示，而藍點可以使用　(-4)　表示。
因為在一維座標當中，僅有兩個方向，所以括號內只有單一數字。如果是二維可能就會有如前面所說的　(3,2) 這種表示方式。那如果是三維呢？
(3,8,-4)、(5.2 , -71 , 0.235) 三個數字在括號中，其表達分別為 X Y Z 三個維度。
而這些數字是可以化為"向量"做計算的。
比方說你現在往天空丟一顆球，最後落下的地點在哪? 只要有足夠的資訊，這些都是可以被記算出來的。

當維度的表示利用座標的數學呈現後，就成為了可計算的東西。

＜三維生物＞

所以我們這些活在三維生物的人可以計算並且繪畫，畫出一維空間的樣子，比如一條繩子，又可能是一張2D的場景美術圖，比我們低維度的都可以輕易的操作。

當然三維可能要多費一些功夫，像是3D列印出的模型，使得你在每個位置每個角度，都可以看到模型不同的樣貌。

但二維生物就沒這麼幸運(如果有二維生物的話) 低維度世界是無法看得到較高維世界的。
舉個例子：在紙上畫出一個火柴人，這個火柴人他可以隨意的在紙張上亂走，但也因為他是二維的生物，所以他無法跳脫這張紙，但我們三維生物就不同了，我們可以把這張紙舉起來，或把它放在地板上。對我們來說，因為紙張的"高低"不同了，自然紙上的火柴人"位置"也會有變化，但如果你有機會問火柴人，火柴人可能會告訴你『我沒有動啊? 我從頭到尾都沒動，我的"位置"沒有改變』為什麼他會這麼說? 因為它無法感受到第三維。

兩個座標(3,2,8)、(3,2,-1)火柴人能感受能知道的只有他在(3,2)無法辨別第三個數字(也就是第三個維度) 這就是低維無法用直觀的方式描述、畫出、感受高維度的原因。

在星際效應的電影當中，為了涉及 "三維與四維" 的說明，科學家卻是拿了一個"二維的紙"作示範，為什麼? 就是因為我們三維生物是無法感受到 四維、五維，所以才會用二維物體與三維空間(科學家所在空間)來示範，用這樣的方式讓人們自己去想像 三與四之間的關係。

以上的"感受"皆指 人體、肉體的感官，比如"看到" "摸到" 等等

＜計算高維＞

那怎麼辦? 身為三維生物，要怎麼延伸討論到四維五維?
還記得前面講座標那邊嗎，雖然我們無法直接用我們三維生物的器官去感受這些，但是我們有數學。

會不會我們也像二維生物一樣只感受到前面幾個維度 (3,2,8) 其實有第四個 (3,2,8,31) 之類的呢? 有的，答案一樣是數學。

講"數學"可能有點太廣義，如果要細分的話，可能是結合不同領域科學的數學，比如弦論、量子力學..等等，這些不同的領域用以計算高維度，當然所得到的意義也會不同。


＜所以說，什麼是第四維？＞

第四維有兩種討論方式，第一種一樣就是所謂的空間，也就是說在現有空間中、我們所在的空間中，其實一直有第四個維度（也是空間維度之一）只是我們就如同那個火柴人一樣，當把這張＂紙＂放在不同＂高低＂的時候，我們斯毫無法靠人體感官去感受。如此一來我們只能用三維的方式去模擬四維、五維... 等等高維度的空間，如同星際效應最後出線的超立方空間。

第二種，愛因斯坦為了探討時空，所以將第四維設為時間，藉此探討了狹義、廣義相對論。對於時間是第四維的想像，也讓很多科幻作品有了"時空穿越"的想像。

所以"第四維" 是要討論時間，還是空間呢?
兩種討論方式走向不同的方向
如果是要討論穿越時空的話，當然是少不了時間了。

奧伯斯悖論─思考宇宙的起源

wiki: Milky_way

　　如果宇宙是張沒有邊際的圖畫紙，要畫幾顆恆星才夠？那些已知和未知的恆星充滿宇宙，閃耀的光芒經過數個光年的距離來到地球，從恆星的光我們看到了過去。但思考到這不禁想問，若宇宙是亙古無窮的，找不到起始點更沒有終點，宇宙一直『存在』，數不清的恆星分佈在其中，會不會眾多恆星的光芒使天空失去了黑夜？

每個方向的視線都對應得到一個恆星

　　夜裡只要抬頭仰望，天空的每個區塊不論多遠都找得到恆星對應的話，眼前的視野將會被宇宙中無窮的恆星所照亮。事實是，每天晚上抬頭所看到的天空都是黑夜，那要怎麼解釋看得到黑夜的事實呢？為了思考這個問題產生了許多對於宇宙的想法。

然而星體本身也並非永恆的，有生有滅

　　『如果宇宙不是無窮的而是有起點的...』打破宇宙永恆存在的說法，恆星有限的存在於視線之中，更尤其有了起點，也許只是那些光還沒到達罷了，人們所能見的僅只是某段有限時間內的歷史而已。



　　那麼宇宙又是怎麼開始的？遙遠地方的恆星在這有限的宇宙中是否在遠離我們？



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補充：

　　關於圖三，這是其中一種思考脈絡的示意圖，並非真實宇宙的狀況，所以要拿來跟真實宇宙狀況比較的話會有許多錯誤存在。

【國中理化】力矩 (重點提醒)

本篇僅講解在國中理化中，力矩所需要注意的地方

假設大家已經讀過力矩的章節以及算過一些題目。



1. 力矩 = 力臂 x 力？

公式大家都會背，但這裡的力臂指的是＂有效力臂＂

何謂有效力臂　(有笑?)

先來看一張一點都不有效的力臂

左側為固定端，中間有根桿子，右側有個力量F用水平方向的力量拉扯

桿子根本不會旋轉對吧，因為有效力臂為零

我們嘗試用別的力量方向，再來畫出有效力臂試試看

藍色的線條不是桿子，實際生活上你看不到那條藍藍的線

藍線就是所謂的有效力臂

有效力臂 = 從固定點出發畫到垂直於F方向的長度

比如藍線與桿子的夾角是37度，而桿子剛好是5公尺

所以有效力臂就是4公尺

(藍線黑線與紅線中間的三角形是個3、4、5的直角三角型)

若F = 8N

力矩 = 4*8 = 32

最後看一般最常看到的狀況

桿子和力量F方向本身就是互相垂直的

圖型就像這樣

因此畫出的有效力臂剛好等於桿子長

這也是為什麼多數題目可以直接用 "桿長乘以力量F"的原因



2. 力矩平衡

若一個系統力矩平衡，那麼就要定好

"所有讓桿子逆時針轉的力矩 " = "所有讓桿子順時針轉的力矩 "


3. 力平衡 + 力矩平衡

看一下這個圖

我先給一個完整公式再來解釋

F1 = F2 + F3 ...... (1)

F2 * R1 = F3 * R2 .......... (2)

式子(1) 指的是力平衡，也就是之前所學的靜力平衡

因為系統保持靜止，所以所有往上抬升的力量會等於往下的力量

式子(2) 就是力矩平衡 ，R1、R2無庸置疑就是力臂

當列出這兩個式子，就得到一組聯立方程式

大致上這類型的題目就可以解決

月曆上的數學

『重要的日曆缺了一部份，被遺忘的月份將會被盛大地弔唁 ..... 』

(摘自"畫到你孫子的孫子都出生了還是畫不完"作品) 

在月曆上可以發現一些有趣的事，本篇不囉嗦，直接來看有哪些吧！

1. 每過七天(或7的倍數天)剛好會是同一星期

以2015年的九月每個星期六為例子：

九月的5、12、19、26號，都是星期六

而這些數字間剛好都差七的倍數

比如 5號與 12號差了7天、12號與26號差了14天

為什麼同一星期剛好會差七的倍數呢？

因為一週剛好就是七天，學過因數倍數的你想想看怎麼回事吧！

2. 同一年的 4/4、6/6、8/8、10/10 剛好是同一星期

以2015年為例，4/4、6/6、8/8、10/10 都是星期六

這個巧合怎麼來的呢？　不是巧合是數學！

我們把 4/4與6/6 標示在數線上，同時也把5/4、 6/4也標上

因為我們發現 4/4~5/4剛好經過一個小月(30天)的時間

而5/4~6/4經過一個大月(31天)，這樣一小一大剛好會是61天！

然而我們要找尋的6/6就是比原來的4號多兩天，再加上2就是63天

63剛好是七的倍數，如此一來再利用第一點所說的：

＂相隔7的倍數天，一定會是同一星期＂

得到4/4與6/6一定會是同一星期。

同理可推 6/6 ~ 8/8 也是相隔一個大月和一個小月，然後再外加兩天。




最後，利用以上的說明，來找找看 12/12是不是也是星期六吧！

補充知識：

若x月有N天，從x月y日要到x+1月y日，剛好會經過N天

高中物理: 功與動能 - 『碰撞』題型觀念整理

（延續上一章節力學能守恆本篇討論的是功與動能章節中的碰撞）

【觀念整理】

兩個具有質量的物體相撞會發生什麼事情？
＂彈性碰撞＂　與　＂非彈性碰撞＂！

彈性碰撞：碰撞時，動能沒有轉變為其他型式的能量
非彈性碰撞：有轉變 （例如轉成熱能的型式）

若非彈性碰撞中，原來動能完全轉換成其它能量型式
就會變成　＂完全非彈性碰撞＂

若我們用一個由０~１稱為恢復系數的數來表示碰撞情形
恢復係數e與碰撞的關係可表示成：

彈性碰撞　　　　e=1
非彈性碰撞　　　0<e<1
完全非彈性碰撞　e=0

以下這邊開始是本章重點

[1] 彈性碰撞公式

V₁、V₂皆為碰前；V₁‘、V₂‘表碰後速度

是的，如果你現在要準備的是段考，就先努力的背下來這個公式吧！
建議背法：先將黑色的部分記起來，因為上下兩個公式寫起來很對稱
較不容易寫錯，再來紅色的部分就看你要用什麼絕竅去記憶，譬如：

V₁‘是1號的地盤，所以在V₁區是 1-2 、V₂區是兩倍的m2 
V₂‘是2號的地盤，所以在V₁兩倍的m1 、V₂區是 2-1 

[2] 接近速度等於遠離速度

彈性碰撞公式背不起來沒關係，因為彈性碰撞公式就是從以下三個式子來的
(1) 能量守恆：前動能總和 = 後動能總和
(2) 動量守恆：前動量總和 = 後動量總和
(3) 由以上兩個守恆所推導出的 『接近速度=遠離速度』

第一、二式守恆的條件前面已經學過了，而第三式能使用的條件是彈性碰撞
從這三個式子就能推導出[1]的彈性碰撞公式，所以忘了也沒關係
還是可以利用這些我們學過的東西求得碰撞結果，不過若能背下彈碰公式當然最好。

我們直接看個例子

一質量m的球以V的速度撞擊2m靜止的球；
假設兩者進行的是彈性碰撞，求碰後兩者速度？

若用彈碰公式可直接求得m球速度為 -(1/3)V，因為是向後所以速度為負
2m碰後速度為(2/3)V。

若用"動量守恆"與"接近速度等於遠離速度"
可列出以下：
(1) mV + 0 = mV₁‘ + 2mV₂‘
(2) V - 0 = - (V₁‘ - V₂‘)
解聯立就可以得到V₁‘ 和 V₂‘

[3] 完全非彈性碰撞

因為完全非彈性碰撞考的反而比非彈性碰撞多
所以直接討論完全非彈性碰撞。

完全非彈性碰撞因為動能轉變為其他型式，所以無法用前後動能守恆來做題
更無法用彈性碰撞公式來解決，但是通常題目都會是系統無外力作用的狀況下
簡而言之就是可以使用 動量守恆來著手解題。

【各個題型】

1. 二維彈性碰撞

二維彈性碰撞和上一節處理動量一樣分成X與Y討論

2m球與靜止之m球彈性碰撞，m球與水平方向夾角37°射出
求2m球碰後速度V1與m球碰後速度V2為多少？

[X部分] 一樣用彈碰公式或使用動量守恆可求得V1x與V2x
[Y部分] 因為有了V2x可以利用三角函數得到V2與V2y
最後V2y會與V1y動量守恆，推得V1

2. 衝擊擺 - 完全非彈性碰撞

一個衝擊擺可以測試出子彈的速度，至於怎麼測？
看到下面這個題目：

子彈質量m射入質量M木塊內，木塊擺至h的高度
以知重力加速度為g求子彈的速度為何？

首先假設子彈速度是v
然後依力學能守恆可以寫出....

是的這樣答案就出來了
重點就在於要分成兩步驟進行
第一是求得木塊擺上去前的速度
再來由動量守恆得到原速 (當然也有可能反著考你高度多少)

3. 質心速度

紅花不見的原因是被壓過去了

在一個充滿小草的光滑無摩擦的平面上 ...
好啦我知道有小草不可能光滑無摩擦，手上有綠筆誰都不能阻止我畫小草！
總之上面有一個質量m的木塊以速度v撞擊一個質量M的斜面 (彈性碰撞)
斜面也是光滑的，過程中木塊最高爬升垂直高度是h
問爬升到h時m與M的速度為何？h是多少？木塊離開斜坡後速度為何？

(1) 當木塊爬升到最大高度的時候，木塊相對斜面是靜止的
所以木塊跟斜面都會以質心速度向前移動。
質心速度 vc = mv/(m+M)

(2) 依能量守恆

(1/2)mv^2 = (1/2)mvc^2 + mgh

↑整理上式即可得到h

(3) 可以直接想作是m與M的碰撞
求m的彈性碰撞碰後速度即可。


好吧整理就到這邊，記得在以上幾題當中學得的觀念
瞭解這些觀念為什麼可以在這邊使用？
為什麼會想到下一步是這麼作？
瞭解之後才能用這些觀念去解更多沒看過的題目
也不要忘了先前所學的物理觀念，才不會被綜合題型問倒。

高中物理: 功與動能 - 『力學能守恆』題型觀念整理

（本篇討論的是功與動能章節中的力學能守恆）

【觀念整理】

1. 能量守恆&力學能守恆

力學能守恆：位能轉換成動能的例子

在一個封閉的系統中能量必守恆，能量可能以各種形式存在
比如動能、重力位能、彈力位能、熱能...等等。

『原來的總能量 = 後來的總能量』

若一封閉系統中只有保守力作功，則力學能守恆。
同樣地，原來的總能會等於後來的總能，更可以寫成以下：

『原來總動能 + 原來總位能 = 後來總動能 + 後來總位能』

2. 動量守恆

前後總動量守恆

動量守恆的條件是系統不受外力的作用，或所受外力合力為零。

『原來的總動量 = 後來的總動量』

不過動量是種向量，所以在討論動量守恆的時候最好分方向討論
比如說下面這個例子：

一質量為2m的球以(√2/2)v的速度延正x方向等速運動，途中炸裂
為兩個等質量的小球，且分別與原行進方向夾角45度的方向離開
請問兩小球速度為何？
好的直接公布答案，兩小球以v速離開。
有些人會困惑怎麼可能會是v速？

原來總動量 = 2m*(√2/2)v = √2mv
後來總動量 = mv + mv = 2mv

一個是根號2mv另一個是2mv，這樣不就不守恆了嗎？
問題就在於後來總動量這部分的計算是不能這樣相加的
因為動量是種向量，兩小球的方向並不是延著同一直線
所以最好是分開成Ｘ方向分量與Ｙ方向分量討論

正確應如下：
[X部分] √2mv (原來x方向總動量) = mv*cos45° + mv*cos-45° (後來x方向總動量)
[Y部分] 0  (原來y方向總動量) = mv*sin45° + mv*sin-45° (後來y方向總動量)

好的接下來是題型的部分

【各個題型】

1. 請問m脫離滑車瞬間，滑車速度V_M為何?

只有保守力作功，依力學能守恆列出式子1
系統無外力作用，依動量守恆列出式子2
解出兩式子就可以得到V_M

2. m以v速延光滑平面撞擊一嵌著彈簧的M
設彈力常數為k，求彈簧的最大壓縮量為何?

本提觀念運用到

『總能 = 質心動能 + 內能』

當彈簧擁有最大壓縮量的時候，M與m皆以相同速度向前移動
此時的速度就是質心速度，所以可以使用質心動能運算
而內能在這裡就是彈簧的彈力位能。
最後將式子列出就可以得到彈簧的長度壓縮量(也就是最大壓縮量)

3. 質量為3m的A木塊置於光滑平面上
質量為m的B木塊置於A的上方，且與A的接觸面摩擦係數為0.5

求 (1) 假設B不會從A木塊上掉落，當B相對停止於A木塊時的速度?
(2) 承上題，B相對停止於A時所花的時間為何?
(3) 若A木塊長度L且不計B木塊長度，L至少要多長B才不至掉落?

第一小題：B木塊相對於A木塊靜止時，A、B兩木塊此時的運動速度相同
也就是整個系統以質心速度V_C移動，所以算出V_C就等於此時B木塊的速度

第二小題：摩擦力使得B木塊於A上滑行時有一個與運動方向相反的加速度
接著依照F=ma可以求得加速度大小，再利用運動學公式求得所花的時間

第三小題：這題有幾個方法一個是利用能量守恆
『B木塊動能 (也就是一開始的總能) = A、B質心動能 + 摩擦力作功 (內能) 』
另一個方法就是繼續利用已知的資訊 (B初速v、末速V_C、加速度a)
加上運動學公式得到L的長度。

4. 接著看到星體運動，設一恆星M質量遠大於繞行行星m
m以v等速圓周運動繞行半徑r，若給予m一能量使其脫離M的重力場
到達無窮遠處，問此能量(脫離能)為何? 脫離速度為何?


此時系統總能 = 動能 + 位能
＝> 總能E = (1/2)mv^2 + -GMm/r
而兩星球距無窮遠處時的總能為"零"
原本總能是E，獲得一個脫離能Ee之後總能變為"零"
則可以得到這個關係： E + Ee = 0 ； Ee = -E
總能E當中行星動量的 v 可以利用F=ma求得，為什麼？
F是誰？m是誰？a又是誰的加速度？
F指的是行星繞恆星時的向心力(也是萬有引力)
因此m就是行星質量，且a就是向心加速度
知道了v是多少，我們就可以得到E同時也知道Ee
最後再由 Ee = (1/2)mVe^2求得脫離速度Ve

在第五題開始之前讓我們先把第四題整理一下
幾個重點：
(1) 現在的總能 + 某個能量 = 新的系統總能 →一樣是能量守恆概念
比如這題就是 " 現在的總能 + 脫離能 = 全部脫離到無窮遠處能量(零) "
如果現在有三顆球，給予能量後只有一顆脫離到無窮遠，另兩個固定
則寫成這樣 " 三球能量 + 給予能量 = 兩球能量 "

(2) 作星體繞行運動題目時，可利用F=ma求得其中一些資訊
其中的F是星球間的萬有引力，m是繞行圓周運動的行星質量
a是此行圓周運動行星的向心加速度
而向心加速度看得是 與圓心間的運動情形

好的我們看一下第5題

雙星運動

5. 兩星球行雙星運動，質量皆為m繞行圓周半徑為r
在給予一脫離能Ee後，兩星球脫離彼此重力場達無窮遠處
求Ee = ?

一樣 總能 + Ee = 0 ； 求得總能就知道Ee
總能 = 動能 + 位能
先求位能： U = -(Gm^2)/ 2*r
（注意分母是 2r ，因為兩星球距離就是2r）
再求動能： Ek = (1/2)mv^2 + (1/2)mv^2
問題是v會是多少呢? 一樣用F=ma
萬有引力 = 行星質量*向心加速度
(Gm^2)/[(2r)^2] = m*(v^2/r)
上面這個式子當中 (Gm^2)/[(2r)^2] 分母之所以是 (2r)^2 是因為這邊取的距離平方是"兩星球間的萬有引力"自然就是兩者的距離也就是直徑2r
另外向心加速度中v^2/r 分母只有r而不是2r，是因為向心加速度
看的是行星與圓心間的半徑，值得注意。
最後把所有資訊整理就可以得到答案了。


這次的整理先到這邊， "守恆"概念貫穿本章節
問自己幾個問題：什麼守恆？誰守恆？等號兩邊該放誰？
只要前面幾個式子列對了，後面題目不會太困難
還有牽扯到幾個以前學的概念，像是向心加速度的公式
找幾個題目練習並且思考一下自己為什麼寫錯或者為什麼寫對
對於本章節就會更加熟悉。